Question

3．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图，则f（x）的解析式和S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（2015）+f（2016）的值分别为（　　）

• A． f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{2}$x+1，S=2016
• B． f（x）=$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{2}$x+1，S=2016
• C． f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{2}$x+1，S=2016.5
• D． f（x）=$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{2}$x+1，S=2016.5

Answer 1

分析 由函数图象和解析式的关系，逐步求解可得解析式，由函数的周期性可得函数值．

解答 解：由图象知A=1.5-1=0.5，T=4=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{2}$，b=1，
∴f（x）=0.5sin（$\frac{π}{2}$x+φ）+1，
由f（x）的图象过点（1，1.5）得0.5sin（$\frac{π}{2}$+φ）+1=1.5，
∴cosφ=1，∴φ=2kπ，k∈Z，取k=0得φ=0，
∴f（x）=0.5sin（$\frac{π}{2}$x）+1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（0.5sin$\frac{π}{2}$+1）+（0.5sinπ+1）+（0.5sin$\frac{3π}{2}$+1）+（0.5sin2π+1）=4，
∵2016=4×504+0，∴S=4×504=2016．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及函数的周期性和函数的值，属中档题．