Question

已知二次函数f（x）=mx²-2x+m其中实数m为常数．
（1）求m的值，使函数f（x）的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²-4x-2y=0也相切．
（2）当m＞0时，求关于x的不等式f（x）≤0的解集M．

Answer 1

分析：（1）先对函数求导，根据导数的几何意义可求函数在x=0处的切线的斜率f'（0）=-2，求出切线方程，由切线l与圆C：（x-2）²+（y-1）²=5相切，可得圆心到直线L的距离等于半径可求m
（2）当m＞0时，关于x的不等式f（x）≤0，即mx²-2x+m≤0，△=4-4m²，要求解不等式，根据二次不等式的求解，需要讨论①当△＞0②当△=0，③当△＜0，三种情况求解集合M

解答：解：（1）f（x）=mx²-2x+m，f（0）=m，f'（x）=2mx-2，f'（0）=-2．
则切线l的方程为y-m=-2x，即2x+y-m=0．
因为切线l与圆C：（x-2）²+（y-1）²=5相切，所以

|5-m|

5

=

5

，即|m-5|=5
又m≠0．故m=10
（2）当m＞0时，关于x的不等式f（x）≤0，即mx²-2x+m≤0，△=4-4m²
①当△＞0，即0＜m＜1时，关于x的方程f（x）=0有两个不相等的实数解x=

1± 1-m2

m

，
则M=[

1- 1-m2

m

，

1+ 1-m2

m

]；
②当△=0，即m=1时，关于x的方程f（x）=0有两个相等的实数解x=1则M={1}；
③当△＜0，即m＞1时，关于x的方程f（x）=0没有实数解，则M=∅．

点评：本题主要考查了导数的几何意义：函数在一点处的导数值即为改点处的切线的斜率，直线与圆心相切关系的应用及二次不等式的求解中所体现的分类讨论思想的应用．