Question

12．已知直线1过点A（4，0），且被圆（x+3）²+（y-1）²=4能截得的弦长为2$\sqrt{3}$．
（1）求圆心到直线l的距离；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线l的距离；
（2）设出直线方程y=k（x-4），代入点到直线的距离公式求得k，则直线方程可求．

解答 解：（1）∵圆（x+3）²+（y-1）²=4的半径为2，
直线l被圆（x+3）²+（y-1）²=4能截得的弦长为2$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线l的距离d=$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4-3}=1$；
（2）由题意，当直线l的斜率不存在时，直线与圆不相交，不合题意；
∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x-4），即：kx-y-4k=0，
∵圆心C（-3，1）到直线l的距离d=$\frac{|-3k-1-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，
化简得：24k²+7k=0，解k=0或k=-$\frac{7}{24}$
∴直线l的方程为：y=0或y=-$\frac{7}{24}$（x-4）．
即：y=0或7x+24y-28=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，属于基础题．