Question

【题目】已知圆与轴相切于点，且被轴所截得的弦长为，圆心在第一象限.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若点是直线上的动点，过作圆的切线，切点为，当△的面积最小时，求切线的方程.

Answer 1

【答案】（I）；（II）或.

【解析】

（Ⅰ）由题意设圆心坐标为（a，1），则半径为r=a（a＞0），再由圆被x轴所截得的弦长为2，利用垂径定理求得a=2，则圆C的方程可求；

（Ⅱ）P为直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，可知，要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，求出CP所在直线方程，与直线l联立解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1=0，再由圆心到切线的距离等于半径求得k，则切线PB的方程可求．

解：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，

因为圆被轴所截得的弦长为，

又点到轴的距离为，

则，

解得.

所以圆的方程为.

（Ⅱ）因为△的面积

.

故当最小时，△的面积最小.

由于点是直线上的动点，

则当时，最小.

由于直线的斜率为，则直线的斜率为.

直线的方程为，即.

由解得

所以点的坐标为.

设直线的方程为，即.

由于直线是圆的切线，

则点到直线的距离等于圆的半径，即.

解得或.

所以切线的方程为或.

另法：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，

则圆的方程为.

令，得

因为圆被轴所截得的弦长为，

则，

解得.所以圆的方程为

（Ⅱ）因为△的面积

.

故当最小时，△的面积最小.

由于点是直线上的动点，设点的坐标为，

则

.

当时，取得最小值，此时点的坐标为.

设直线的方程为，即.

由于直线是圆的切线，

则点到直线的距离等于圆的半径，即.

解得或.

所以切线的方程为或.