Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1），（n∈N^*），若S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2013，则n的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据条件，求出数列{a_n}为等差数列，然后求出

Sn

n

=2n-1也为等差数列，根据等差数列的求和公式即可得到结论．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1），
∴S_n=na_n-2（n-1）n，
S_n+1=（n+1）a_n+1-2n（n+1），
两式相减得：
a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-2n（n+1）+2（n-1）n，
na_n+1-na_n-4n=0，
a_n+1-a_n=4，
所以a_n是等差数列，公差d=4，
∴a_n=4n-3，S_n=2n²-n，
则

Sn

n

=2n-1，为首项是1公差为2的等差数列，
则S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=

(1+2n-1)

2

×n=n²，
则S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2013，
等价为n²-（n-1）²=2013，
即2n-1=2013，
解得n=1007，
故答案为：1007．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解以及等差数列性质的应用，要求熟练掌握相应的求和公式，考查学生的运算能力．