Question

【题目】已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，且，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明：取的中点，连接，，.根据平面几何知识和线面垂直的判定可证得平面，再证得，可证明平面平面.

（2）由线面角的定义可得为与平面所成的角，再以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角的余弦值.

解：（1）证明：取的中点，连接，，.

∵，∴.

又∵，，∴四边形为正方形，则.

∵平面，平面，∴.

∵，∴平面.

∵，，∴四边形为平行四边形，∴，

∴平面.又平面，

∴平面平面.

（2）∵平面，∴为与平面所成的角，

即，则.

设，则，，.

以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

∵平面，∴平面的一个法向量.

设平面的法向量，∵，，

则，取，则.

设二面角的平面角为，∴.

由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.