Question

【题目】如图,椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定点,使得为定值.

【解析】

（Ⅰ）根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，表示为，利用韦达定理化简可得，令可得结果.

（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,

设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,

,则,,

可得.设点,

那么,

若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,

此时,,

当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,

此时,,, ,

综上,在轴上存在定点,使得为定值.