Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求的零点个数；

（2）证明：，.

Answer 1

【答案】（1）零点个数为0（2）证明见解析

【解析】

（1），讨论和两种情况，计算函数的单调性得到恒成立，故函数没有零点.

（2）只需要证明即可，讨论，两种情况，求导得到函数单调性，根据单调性计算函数最值，得到证明.

（1）因为，，

①当时，，，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；所以当时，取得最小值，

所以.

②当时，，，，单调递增；所以.

综上，，因此，没有零点，即的零点个数为0.

（2）要证，，

只要证，即可.

因为当时，.

①当时，

因为当，，，单调递增，

当，，，单调递增，

又，所以在上单调递增，

所以，，

所以.

②当时，，，在单调递增，

所以，，

所以.

又因为，所以.

因此，时，.