Question

若函数f(x)＝x³－ax²＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．

Answer 1

函数f(x)的导数f ′(x)＝x²－ax＋a－1.

令f ′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.

当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；

当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．

依题意当x∈(1,4)时，f ′(x)<0；

当x∈(6，＋∞)时，f ′(x)>0.

所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.

所以a的取值范围为[5,7]．