Question

数列{a_n}的前n和为S_n，且满足a_n+S_n=1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在实数λ，使得数列{Sn+λn+

3λ

2n

}为等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
（3）设bn=

1

2n+1(an+1)(an+1+1)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）只需要写出相邻的项对应的关系式，两式相减即可获得数列通项之间的关系，结合数列的特点即可获得解答．
（2）假设存在实数λ，使得数列{Sn+λn+

3λ

2n

}为等差数列．S_n=1-

1

2n

，得到Sn+λn+

3λ

2n

=1+λn+

3λ-1

2n

，从而得到（1+λn+

3λ-1

2n

）-[1+λ（n-1）+

3λ-1

2n-1

]为常数，由此能求出λ．
（3）由a_n=

1

2n

，得到bn=

1

2n+1(an+1)(an+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n和为S_n，且满足a_n+S_n=1（n∈N^*），
∴a₁+S₁=2a₁=1，解得a₁=

1

2

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

2

，
∴{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

2n

．
（2）假设存在实数λ，使得数列{Sn+λn+

3λ

2n

}为等差数列．
∵{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
∴Sn+λn+

3λ

2n

=1-

1

2n

+λn+

3λ

2n

=1+λn+

3λ-1

2n

，
∵数列{Sn+λn+

3λ

2n

}为等差数列，
∴（1+λn+

3λ-1

2n

）-[1+λ（n-1）+

3λ-1

2n-1

]
=λ+

3λ-1

2n-1

为常数，
∴

3λ-1

2n-1

=0，解得λ=

1

3

．
（3）∵a_n=

1

2n

，
∴bn=

1

2n+1(an+1)(an+1+1)

=

1

2n+1( 1 2n +1)( 1 2n+1 +1)

=

1

2n+1

•

1

1 2n +1

•

1

1 2n+1 +1

=

2n

2n+1

•

1

2n+1+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
∴T_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质的应用，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．