题目内容
已知函数f（x）=4cosxsin（x+
）-1，x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）若将y=f（x）的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得到的曲线恰好经过坐标原点，求ϕ的最小值．
| π |
| 6 |
（1）求f（0）的值；
（2）若将y=f（x）的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得到的曲线恰好经过坐标原点，求ϕ的最小值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：计算题,三角函数的求值
分析：（1）依题意，可知f（0）=1；
（2）利用北京公式与辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+
），f（x-ϕ）=2sin（2x+
-2ϕ），利用y=2sin（2x+
-2ϕ）经过坐标原点，ϕ＞0，即可求得ϕ的最小值．
（2）利用北京公式与辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+
| π |
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| π |
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解答：
解：（1）∵f（x）=4cosxsin（x+
）-1，
∴f（0）=4cos0sin
-1=1；
（2）∵f（x）=4cosxsin（x+
）-1
=4cosx（
sinx+
cosx）-1
=2
sinxcosx+2cos2x-1
=
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
），
∴f（x-ϕ）=2sin[2（x-ϕ）+
]=2sin（2x+
-2ϕ），
∵y=2sin（2x+
-2ϕ）经过坐标原点，
∴
-2Φ=kπ（k∈Z），
∴ϕ=
-
（k∈Z），又ϕ＞0，
∴当k=0时，ϕ取得最小值，为
．
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∴f（0）=4cos0sin
| π |
| 6 |
（2）∵f（x）=4cosxsin（x+
| π |
| 6 |
=4cosx（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴f（x-ϕ）=2sin[2（x-ϕ）+
| π |
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| π |
| 6 |
∵y=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 6 |
∴ϕ=
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
∴当k=0时，ϕ取得最小值，为
| π |
| 12 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得f（x）=2sin（2x+
）是关键，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．
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