Question

10．已知函数f（x）=log₂（2^x+1）
（1）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）内是增加的；
（2）若关于x的方程log₂（2^x-1）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合指数函数的单调性，对数函数的单调性，复合函数单调性“同增异减”的原则，可证得结论；
（2）构造函数g（x）=${log}_{2}（1-\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，x∈[1，2]，可得m的取值范围，即函数的值域．

解答 （1）证明：∵t=2^x+1为增函数，且t=2^x+1＞1恒成立，
y=log₂t为增函数，
故函数f（x）=log₂（2^x+1）在（-∞，+∞）内是增函数；
（2）解：方程log₂（2^x-1）=m+f（x）可化为m=${log}_{2}（{2}^{x}-1）-{log}_{2}（{2}^{x}+1）$=${log}_{2}\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=${log}_{2}（1-\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，
令g（x）=${log}_{2}（1-\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，x∈[1，2]，则g（x）为增函数，
故当x=1时，g（x）取最小值${log}_{2}\frac{1}{3}$，当x=2时，g（x）取最大值${log}_{2}\frac{3}{5}$，
故m∈[${log}_{2}\frac{1}{3}$，${log}_{2}\frac{3}{5}$]．

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．