Question

2．设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是②③．（填写所有正确命题的序号）
①若a∥b，a∥α，则b∥α； ②若a∥b，a?α，b⊥β，则α⊥β；
③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．

Answer 1

分析 根据空间线面位置关系的判定与性质进行判断．

解答 解：对于①，若b?α，则结论不成立，故①错误；
对于②，∵a∥b，b⊥β，∴a⊥β，
又a?α，∴α⊥β．故②正确；
对于③，设m，n为α内的两条相交直线，
m′，n′为m，n在β内的射影，则m∥m′，n∥n′，
∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n，
∴a⊥m′，a⊥n′，
∴a⊥β，故③正确；
对于④，以正三棱柱ABC-A₁B₁C₁为例说明，
设侧面ABB₁A₁为α，底面ABC为β，侧棱CC₁为直线a，底面ABC内任意一条直线为b，
显然b与平面β的关系不确定，故④错误；
故答案为：②③．

点评 本题考查了空间线面位置关系的判断，应熟记各种判定定理和性质定理，属于中档题．