题目内容

已知函数 $数学公式$ （ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为 $数学公式$ ．
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间 $数学公式$ 上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，-------（3分）
由题意知，最小正周期 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，所以ω=2，
∴ $\text{[math]}$ ．-------------（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个 $\text{[math]}$ 个单位后，得到 y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 $\text{[math]}$ 的图象， $\text{[math]}$ ．---------（9分）
令 $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，g（x）+k=0，在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=-k在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知 $\text{[math]}$ 或-k=1
∴ $\text{[math]}$ ，或k=-1．--------（12分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换把函数f（x）的解析式化为 $\text{[math]}$ ，根据周期求出ω=2，从而得到 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个 $\text{[math]}$ 个单位后，得到 y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到 $\text{[math]}$ 的图象，可得
$\text{[math]}$ ，函数y=g（x）与y=-k在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可得实数k的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．