Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，短轴的一个端点为B且，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C于M、N两点．问：是否存在一个定点T，使得以MN为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，得x²+（2b-4）x+b²=0，因直线y=x-b与抛物线y²=4x相切，△=（2b-4）²-4b²=0，解得b=1．由短轴的一个端点为B且，知a=b=．由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当l与x轴平行时，以MN为直径的圆的方程：．当l与x轴垂直时，以MN为直径的圆的方程：x²+y²=1．由解得两圆公共点（0，1）．因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以MN为直径的圆过点T（0，1）；（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线l：y=kx-，由，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，记点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由韦达定理和向量数量积公式能推导出TM⊥TN，综合（ⅰ）（ⅱ），以MN为直径的圆恒过点T（0，1）．
解答：解：（Ⅰ）由，得x²+（2b-4）x+b²=0，
因直线y=x-b与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，
∴b=1．…2分
∵短轴的一个端点为B且，
∴a=b=．…4分
故所求椭圆方程为．…5分
（Ⅱ）当l与x轴平行时，以MN为直径的圆的方程：．
当l与x轴垂直时，以MN为直径的圆的方程：x²+y²=1．
由解得，
即两圆公共点（0，1）．
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…7分
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以MN为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线l：y=kx-，
由，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
记点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则．…9分
∵，
∴
=
=（1+k²）x₁x₂-    
=
=0．
∴TM⊥TN，…11分
综合（ⅰ）（ⅱ），以MN为直径的圆恒过点T（0，1）．…12分
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．