Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由焦点坐标得出c=1，结合离心率得出，求出b 值，最后写出椭圆C的方程即可；
（II）（i）由题中条件：“”结合向量的数量积，代入三角形面积公式求得答案．
（ii）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，再利用方程的思想，求出m的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（Ⅰ）c=1，又，∴
∴b²=a²-c²=3-1=2
所以，椭圆C的方程是
（Ⅱ）（ⅰ）∵，∴，
∴，∴．
（ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．
不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0
由消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，
∴k_PA+k_PB=0对一切k恒成立，即对一切k恒成立
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0对一切k恒成立
∴对一切k恒成立，
即2m-6=0，∴m=3，
∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．
点评：本小题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；注意（Ⅲ）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．