Question

（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.

 ①求椭圆C的方程.

 ②当⊿AMN的面积为时，求k的值.

 

Answer 1

【答案】

①  .②k=±1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 ，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立 y=k(x-1)与，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积，可求k的值．

解：①  由题意得         a=2

                          =，

                          ，

解得b=.所以椭圆C的方程为.

由②  y=k（x-1）， 得

    

设点M、N的坐标分别为则

所以

又因为点A（2,0）到直线y=k（x-1）的距离d=

所以⊿AMN的面积为s=∣MN∣.d==，

解得k=±1.

考点：本试题主要考查了椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算。

点评：解决该试题的关键是正确求出|MN|，通过设直线与圆锥曲线联立方程组得到韦达定理表示得到线段的长度。