题目内容
18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，-1≤x＜0}\\{{x}^{2}，0≤x＜1}\end{array}\right.$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{1}{x-2}$．则方程f（x）=g（x）在区间[-3，7]上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ）| A． | 10 | B． | 8 | C． | 7 | D． | 6 |
分析 由f（x+2）=f（x），得到函数是周期为2的周期函数，分别作出函数f（x），g（x）在[-3，7]上的图象，利用图象观察交点的个数和规律，然后进行求解．
解答 
解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵g（x）=$\frac{1}{x-2}$，∴g（x）关于直线x=2对称．
分别作出函数f（x），g（x）在[-3，7]上的图象，
由图象可知两个函数的交点个数为6个，设6个交点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
且这6个交点接近点（2，0）对称，
则$\frac{1}{2}$（x1+x6）=2，x1+x6=4，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3（x1+x6）=3×4=12，
其中x=3时，不成立，则f（x）=g（x）在区间[-3，7]上的所有实根之和为12-3=9，
由图象可知，x1+x6＞4，x2+x5＞4，x4＞1，
∴x1+x2+x4+x5+x6＞9．
故选A．
点评 本题主要考查函数交点个数和取值的判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．本题综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目