Question

18．在平行四边形ABCD中，设AB的长为a（a＞0），AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=1，则a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先利用$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，代入已知等式展开，利用数量积公式求数值，得到关于a的方程解之．

解答 解：设AB的长为a（a＞0），因为$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
于是$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AD}$²=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$a+1，
由已知可得-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$a+1=1．又a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$，即AB的长为$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的运算；首先将所求利用平行四边形的相邻边向量表示，然后运用数量积公式是解答的关键．