Question

3．已知x∈R，用反证法证明：$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 假设$\sqrt{3}+\sqrt{5}$≤$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，两边平方化简即可得出$\sqrt{15}$$≤\sqrt{12}$，于是15≤12，得出矛盾，于是假设错误，原结论成立．

解答 证明：假设$\sqrt{3}+\sqrt{5}$≤$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
则（$\sqrt{3}+\sqrt{5}$）²≤（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）²，
∴8+2$\sqrt{15}$≤8+2$\sqrt{12}$，
∴$\sqrt{15}$≤$\sqrt{12}$，
两边平方得15≤12，与15＞12矛盾，
∴假设不成立，
∴$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了反证法证明不等式，属于基础题．