Question

已知函数f（x）=

x

2

+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=-x+2平行，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞-2成立，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件得f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．
（Ⅱ）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由导数性质得f（x）在区间（

2

a

，+∞）上单调递增，在区间（0，

2

a

）上单调减，x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

2

+alnx-2（a＞0），
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=-x+2平行，
∴f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，∴a=1，
∴f（x）=

2

x

+lnx-2，f′(x)=

x-2

x2

，令f′（x）=0，x=2，
由f′（x）＞0，解得x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2），
∴f（x）的极小值为f（2）=ln2-1．
（Ⅱ）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，
由f′（x）＞0解得x＞

2

a

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

a

，
∴f（x）在区间（

2

a

，+∞）上单调递增，在区间（0，

2

a

）上单调减，
∴当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)，
∵对于?x∈（0，+∞），都有f（x）＞-2成立，
∴f（

2

a

）＞-2即可，
则

2

2 a

+aln

2

a

-2＞-2，则a+aln

2

a

＞0，
解得0＜a＜2e，
∴a的取值范围是（0，2e）．

点评：本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．