题目内容
已知函数f（x）=lnx+
，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，求a的取值范围．
| 2a |
| x |
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，可得lnx+
≥2在（0，+∞）上恒成立，即2a≥2x-xlnx，求出右边的最大值，即可求a的取值范围．
（Ⅱ）函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，可得lnx+
| 2a |
| x |
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+
，
∴f′（x）=
-
，
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-2a=0，
∴a=
；
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，
∴lnx+
≥2在（0，+∞）上恒成立，
∴2a≥2x-xlnx，
令y=2x-xlnx，则y′=2-lnx-1=1-lnx，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴x=e时，函数取得最大值2e-elne=e，
∴2a≥e，
∴a≥
．
| 2a |
| x |
∴f′（x）=
| 1 |
| x |
| 2a |
| x2 |
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-2a=0，
∴a=
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象上的点都在直线y=2的上方，
∴lnx+
| 2a |
| x |
∴2a≥2x-xlnx，
令y=2x-xlnx，则y′=2-lnx-1=1-lnx，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴x=e时，函数取得最大值2e-elne=e，
∴2a≥e，
∴a≥
| e |
| 2 |
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分离参数法的运用，属于中档题．
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