Question

已知函数f（x）=a^x-log_ax（a＞0），若使f（x）恒有两个零点，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，只需要讨论与y=x有两个解即可，构造函数h（x）=a^x-x，只须h（x）的最小值小于0，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=a^x-log_ax（a＞0），使f（x）恒有两个零点，
∴f（x）=a^x-log_ax=0，
即a^x=log_ax，
由于函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，
只需要讨论与y=x有两个解即可，
令h（x）=a^x-x，则函数h（x）有两个零点，
当0＜a＜1时，函数h（x）为减函数，至多有一个零点不满足要求，
当a＞1时，令h′（x）=a^xlna-1=0，则x=loga

1

lna

，
当0＜x＜loga

1

lna

时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数；
当x＞loga

1

lna

时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
故当x=loga

1

lna

时，函数h（x）取最小值，
若函数h（x）有两个零点，则h（loga

1

lna

）＜0，
即aloga

1

lna

＜loga

1

lna

即

1

lna

=log_ae＜loga

1

lna

，
即e＜

1

lna

，
即0＜lna＜

1

e

，
即1＜a＜e

1

e

，
故实数a的取值范围是（1，e

1

e

），
故答案为：（1，e

1

e

）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，反函数，导数法判断函数的单调性，导数法求函数的最值，对数的运算性质，是指数函数，对数函数，函数零点，导数等的综合应用，运算量大，综合性可，转化困难，属于难题．