题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ ，若f（x）为奇函数，则当0＜x≤2时，g（x）的最大值是________．

$\text{[math]}$
分析：由f（x）为奇函数，且-2≤x＜0时，f（x）=2^x有最小值为f（-2）= $\text{[math]}$ ，根据奇函数关于原点对称可知当0＜x≤2时，f（x）=g（x）-log₅（x+ $\text{[math]}$ ）有最大值为f（2）=- $\text{[math]}$ ，结合函数在0＜x≤2时，g（x）=f（x）+log₅（x+ $\text{[math]}$ ）为增函数，从而可求函数g（x）的最大值
解答：由于f（x）为奇函数，
当-2≤x＜0时，f（x）=2^x有最小值为f（-2）=2^-2= $\text{[math]}$ ，
故当0＜x≤2时，f（x）=g（x）-log₅（x+ $\text{[math]}$ ）有最大值为f（2）=- $\text{[math]}$ ，
而当0＜x≤2时，y=log₅（x+ $\text{[math]}$ ）为增函数，
考虑到g（x）=f（x）+log₅（x+ $\text{[math]}$ ），
∵0＜x≤2时，f（x）与y=log₅（x+ $\text{[math]}$ ）在x=2时同时取到最大值，
故[g（x）]_max=f（2）+log₅（2+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ．
答案： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了奇函数的关于原点对称的性质的应用，利用函数的单调性求解函数的最值，属于函数知识的灵活应用．