Question

设函数f（x）=x³，若0≤θ≤

π

2

时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A．（-∞，1）
• B．(-∞ ， 

  1

  2

  )
• C．（-∞，0）
• D．（0，1）

Answer 1

分析：由于f（x）=x³，0≤θ≤

π

2

利用导数可判断f（x）为奇函数，增函数，可得f（mcosθ）＞f（m-1），从而得出mcosθ＞m-1，根据cosθ∈[0，1]，即可求解．

解答：解：由函数f（x）=x³，可知f（x）为奇函数，f′（x）=3x²≥0恒成立
∴f（x）=x³是增函数；且f（-x）=-f（x）即f（x）是奇函数
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，则g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

1

2

π
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴

m＞m-1 0＞m-1

∴m＜1．
故选A

点评：本题考查了函数恒成立的问题，解题的关键在于对函数f（x）=x³单调性、奇偶性的判断，考查转化思想与构造函数的方法，属于中档试题．