Question

【题目】设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ||ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程．

（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，（2）成等差数列

【解析】

（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ||ED|Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；

（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ||ED|，Q在直线m上，

∴x0＝x，|y0|＝|y|．①

∵点D在圆x2+y2＝16上运动，

∴x02+y02＝16，

将①式代入②式即得曲线C的方程为x2y2＝16，即1，

（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：

由（1）知椭圆C：3x2+4y2＝48，

直线l的方程为y＝k（x﹣2），

代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，

则有x1+x2，x1x2，

可知M的坐标为（8，6k）．

∴k1+k3

＝2k﹣32k﹣32k﹣1，

2k2＝22k﹣1．

∴k1+k3＝2k2．

故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．