Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）若是曲线上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）.

【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求得直线的直角坐标方程，将曲线C的参数方程消参数即可求得曲线的普通方程，问题得解。

（2）求出点的直角坐标，再利用椭圆的参数方程表示点的坐标为，利用点到直线距离公式及两角差的正弦公式即可整理点P到直线的距离，问题得解。

（1）因为直线的极坐标方程为，

即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．

由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

可得直线的直角坐标方程为x－y－4＝0．

将曲线C的参数方程消去参数，

得曲线C的普通方程为．

（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．

点M的极坐标（，）化为直角坐标为（－2，2）．

则．

所以点P到直线的距离，

所以当时，点M到直线的距离的最大值为．