题目内容

【题目】过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为，，利用韦达定理可表示出的值，根据P点坐标求得＝8进而求得k，则直线AB的方程可得；利用弦长公式求得|AB|．

解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）

代入双曲线C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0

设此方程两实根为，，则

又P（4，2）为AB的中点，

所以8，

解得k＝1

当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，

所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10

|AB|||4．

故选：D．

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附：参考数据与公式，若～，则①；②；③.

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