Question

【题目】如图所示，在多面体中，四边形为平行四边形，平面平面，，，，，,，点是棱上的动点.

（Ⅰ）当时，求证平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角所成角的余弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）通过平行四边形证得，从而根据线面平行的判定定理证得结果；（Ⅱ）通过作，可满足空间直角坐标系建立的条件，从而建立坐标系，利用直线与平面所成角的向量求法求得结果；（Ⅲ）根据向量共线的性质用表示出点坐标；利用二面角的向量求法建立方程，求得的值，根据与的长度关系确定最终结果.

（Ⅰ）由已知得且， 则四边形为平行四边形

四边形为平行四边形

又平面，平面 平面

（Ⅱ）过点作交于点， 过点作交于点

平面平面，平面平面，平面

平面

以为原点建立如图的空间直角坐标系

则，，，，，

设平面的法向量为，，

，即

令 ，

又

直线与平面所成角的正弦值为

（Ⅲ），

设平面的法向量为，，

，即，令 ，

又可取平面的法向量

解得