Question

19．在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为3．

Answer 1

分析 设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S_△ABC=$\frac{3}{2}$x $\sqrt{1-（\frac{3-{x}^{2}}{2x}）^{2}}$，由余弦定理求得 cosC代入化简 S_△ABC=$\sqrt{\frac{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}{16}}$，由三角形三边关系求得 1＜x＜3，由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{3}{2}$x•sinC=$\frac{3}{2}$x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．
由余弦定理可得 cosC=$\frac{3-{x}^{2}}{2x}$，
∴S_△ABC=$\frac{3}{2}$x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{2}$x $\sqrt{1-（\frac{3-{x}^{2}}{2x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}{16}}$．
由三角形三边关系有：x+2x＞3且x+3＞2x，解得 1＜x＜3，
故当 x=$\sqrt{5}$时，S_△ABC取得最大值3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．