Question

9．与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，且离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$的椭圆标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$．

Answer 1

分析 由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±$\sqrt{5}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出椭圆方程．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
得a²=9，b²=4，
∴c²=a²-b²=5，
∴该椭圆的焦点坐标为（±$\sqrt{5}$，0）．
设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0，
则$c=\sqrt{5}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得a=5．
∴b²=25-5=20．
∴所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆性质的合理运用，是基础题．