Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则y=f（x）
与y=|log₅x|的图象的交点个数为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的周期性,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：先画出函数y=f（x）在一个周期[-1，1]内的图象，再由函数y=f（x），（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），可知其正确T=2，从而画出函数y=f（x），x∈R的图象．再画出函数y=|log₅x|的图象，及根据其单调性即可求出交点的个数．

解答： 解：∵函数y=f（x），（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），
∴?x∈R，都有f（x+2）=f（x），即函数的周期T=2．
先画出x∈[-1，1]时，f（x）=x²的图象，其值域为[0，1]，再根据函数的周期T=2，可画出函数y=f（x），（x∈R）的图象；
再画出函数y=|log₅x|的图象，即把函数y=log₅x的在x轴下方的部分对称的翻到x轴上方．
当0＜x≤1时，函数f（x）=x²的图象与y=-log₅x的图象只有一个交点；
当1＜x≤5时，∵0＜log₅x≤1，0≤f（x）≤1及单调性和图象如图所示：二函数有4个交点．
综上共有5个交点．
故选C．

点评：本题考查函数与方程的应用，正确画出二函数的图象和理解函数的单调性周期性以及对数函数的图象与性质是解题的关键．