Question

已知等比数列{a_n}满足，a₁=1，2a₃=a₂
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若等差数列{b_n}的前n项和为S_n，满足b₁=2，S₃=b₂+6，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）设数列{b_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得b_n．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}公比为q，
∵2a₃=a₂，∴q=

1

2

，
又a₁=1，
∴数列{a_n}通项公式为：an=

1

2n-1

．
（2）设数列{b_n}的公差为d，
∵S₃=b₂+6，则3b₂=b₂+6，
∴b₂=3．
则d=b₂-b₁=1，∴b_n=n+1．
∴anbn=(n+1)

1

2n-1

，
Tn=2+3×

1

2

+4×

1

22

+5×

1

23

+…+(n+1)×

1

2n-1

，…..（1）

1

2

Tn=2×

1

2

+3×

1

22

+4×

1

23

+5×

1

24

+…+(n+1)×

1

2n

…．（2），
（1）-（2）得：

1

2

Tn=2+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n-1

-(n+1)×

1

2n

，

1

2

Tn=2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(n+1)×

1

2n

，
整理得

1

2

Tn=3-(n+3)×

1

2n

．
故：Tn=6-(n+3)×

1

2n-1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．