Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）求g（x）在定义域内的最小值；
（2）若g（a）-g（x）＜

1

a

对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围；
（3）讨论g（x）与g（

1

x

）的大小．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′(x)=

1

x

，g（x）=lnx+

1

x

，其定义域为（0，+∞），得g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，x＞0，由此利用导数性质能求出g（x）在定义域内的最小值．
（2）由g（a）=lna+

1

a

，a＞0，得lna＜g（x）对任意x＞0都成立，由此能求出实数a的取值范围是（0，e）．
（3）由已知得g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x，x＞0，构造函数h（x）=g（x）-g（

1

x

）=2lnx+

1

x

-x，x＞0，由此利用导数性质推导出当x=1时，g（x）=g（

1

x

）；当0＜x＜1时，g（x）＞g（

1

x

）；当x＞1时，g（x）＜g（

1

x

）．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x），
∴f′(x)=

1

x

，g（x）=lnx+

1

x

，其定义域为（0，+∞），
g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，x＞0，
由g′（x）=0，得x=1，由g′（x）＞0，得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴当x=1时，g（x）在定义域（0，+∞）内有最小值为g（x）_min=g（1）=1．
（2）∵g（x）=lnx+

1

x

，x＞0，∴g（a）=lna+

1

a

，a＞0，
∵g（a）-g（x）＜

1

a

对任意x＞0都成立，
∴lna+

1

a

-g（x）＜

1

a

对任意x＞0都成立，
即lna＜g（x）对任意x＞0都成立，
∴lna＜g（x）_min=lne，∴0＜a＜e，
∴实数a的取值范围是（0，e）．
（3）∵g（x）=lnx+

1

x

，x＞0，
∴g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x，x＞0，
设h（x）=g（x）-g（

1

x

）=lnx+

1

x

-（-lnx+x）=2lnx+

1

x

-x，x＞0，
则h′(x)=

2

x

-

1

x2

-1=-

x2-2x+1

x2

=-

(x-1)2

x2

，x＞0，
显然h′（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，
又h（1）=0，∴当x=1时，h（x）=0，即g（x）=g（

1

x

），
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞g（

1

x

），
∴当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜g（

1

x

）
综上所述：当x=1时，g（x）=g（

1

x

）；当0＜x＜1时，g（x）＞g（

1

x

）；
当x＞1时，g（x）＜g（

1

x

）．

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查两数大小的讨论，解题时要注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．