Question

如图，三棱锥中，，，，点在平面内的射影恰为的重心，M为侧棱上一动点．

（1）求证：平面平面；
（2）当M为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）证明平面平面，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，本题根据面面垂直的判定定理可知在平面内找一条直线与平面垂直，由已知平面，可得，由题意可知，是等腰三角形，且为重心，既得，从而得平面，可证平面平面；（2）当M为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值，求线面角，传统方法是找线和射影所成的角，本题找射影比较麻烦，可用向量法来求，过作的平行线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，利用线面角的正弦值等于线和法向量所成角的余弦值即可求出直线与平面所成角的正弦值．
试题解析：（1）取中点，连接、，
∵平面，∴
等腰中，为重心，∴
∴平面 
∴平面平面               6分
（2）中， ∴
∵平面 ∴
∴ ∴
过作的平行线为轴，为轴，为轴
建立空间直角坐标系
   
∴  
设直线与平面所成角为
设平面的法向量为 
     ∴

 ∴     12分