Question

如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,,的中点,,.

(1)设是的中点,证明:平面;
(2)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.

Answer 1

(1)详见解析， (2) 到,的距离为.

试题分析：(1) 证明线面平行，关键在于找出线线线平行.本题中点较多，易从中位线上找平行.取线段
中点，连接则所以为平行四边形，因此运用线面平行判定定理时，需写
全定理所需所有条件.(2) 在内找一点，利用空间向量解决较易. 利用平面平面,建立空间直角坐标系O,点M的坐标可设为.利用平面，可解出，但需验证点M满足的内部区域，再由点M的坐标得点到,的距离为.
试题解析：证明:(1)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O, 则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量,得,又直线不在平面内,因此有平面       6分
(2)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.       12分