Question

如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上.
（1）求证:；
（2）若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）要证明直线和直线垂直，往往利用直线和平面垂直的性质，先证明线面垂直，进而证明直线和直线垂直．本题可先证明平面，因平面,所以,故只需证明，可放在中利用平面几何的知识证明；（2）以以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.分别表示相关点的坐标，通过二面角的大小为，确定点的坐标，再求直线的方向向量和面的法向量的夹角余弦，其绝对值即所求与平面所成角的正弦值．
（1）如图,设为的中点,连结,
则,所以四边形为平行四边形,
故,又,
所以,故,
又因为平面,所以,
且,所以平面,故有                          5分

（2）如图,以为原点,分别以射线
为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
则,
设,易得,
设平面的一个法向量为,则,
令得,即.
又平面的一个法向量为,
由题知,解得,
即,而是平面的一个法向量,
设平面与平面所成的角为,则.
故直线与平面所成的角的正弦值为.                          12分