Question

已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；
⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．

Answer 1

⑴或2．⑵．

试题分析：⑴，∵是的极值点，∴，即，解得或2．
⑵∵在上．∴，∵在上，∴，又，∴，∴，解得，∴，由可知和是的极值点．∵，∴在区间上的最大值为8．  
⑶因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点．而的两根为，，区间长为，∴在区间上不可能有2个零点．所以，即．∵，∴．又∵，∴．
点评：典型题，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数。求极值的步骤：计算导数、求驻点、讨论驻点附近导数的正负、确定极值、计算得到函数值比较大小。切线的斜率为函数在切点的导数值。（3）将条件转化成函数在上存在零点，体现了转化与化归思想的应用。