Question

已知点A(1,0)，B(0,1)和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足＝a_n＋b_n (n∈N^*)，其中{a_n}，{b_n}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P₁是线段AB的中点．

(1)求a₁，b₁的值．

(2)点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否在同一条直线上？请证明你的结论．

Answer 1

解：(1)P₁是线段AB的中点⇒＝＋，

又＝a₁＋b₁，且，不共线，

由平面向量基本定理，知a₁＝b₁＝.

(2)由＝a_n＋b_n (n∈N^*)⇒＝(a_n，b_n)，

设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d＝0，q＝1不会同时成立．

若d＝0，q≠1，则a_n＝a₁＝(n∈N^*)

⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线x＝上；

若q＝1，d≠0，则b_n＝为常数列

⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直线y＝上；

若d≠0且q≠1，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…在同一条直线上⇔＝(a_n－a_n－1，b_n－b_n－1)与＝(a_n＋1－a_n，b_n＋1－b_n)始终共线(n≥2，n∈N^*)

⇔(a_n－a_n－1)(b_n＋1－b_n)－(a_n＋1－a_n)(b_n－b_n－1)＝0

⇔d(b_n＋1－b_n)－d(b_n－b_n－1)＝0

⇔b_n＋1－b_n＝b_n－b_n－1

⇔q＝1，这与q≠1矛盾，

所以当d≠0且q≠1时，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不可能在同一条直线上.