Question

【题目】已知抛物线和：，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.

（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；

（Ⅱ）求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标设切线的方程为：.利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得，结合图形可知直线斜率.

（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上，则，直线与圆相切，则，据此可得，则，，而，.令，则，故，的最小值为.

试题解析：

（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，

则切线的方程为：，即.

∴，解得：.

∵，∴.

（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①

圆心到切线的距离，整理得：②

将①代入②得：③

设方程的两个根分别为，，由韦达定理得：，，

从而 ，

.

记函数，则，

，的最小值为，当取得等号.