Question

【题目】已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．

【解析】

（1）设，由，计算即可求得，得出结果；

（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点；

（3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果.

（1）由题可知，圆M的半径，设，

因为PA是圆M的一条切线，所以，

所以，

解得或，

所以点P的坐标为或．

（2）设，因为，

所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

其方程为，

即，

由，

解得或，

所以圆过定点，．

（3）因为圆N方程为，

即①

又圆②

①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为

．

点到直线AB的距离，

所以相交弦长

，

所以当时，AB有最小值．