题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点
且不垂直于
轴直线
与椭圆
相交于
、
两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）若点关于轴的对称点是点
，证明：直线
与轴相交于定点。
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
（1）由离心率
，得到
，进而求得
，即可求解；
（2）设直线
的方程为
，联立方程组，利用根与系数的关系和韦达定理，求得
，再由
、
两点关于
轴对称，得到直线
的方程，代入求得的表达式，代入即可求解．
（1）由题意知，离心率，所以
，即
又
，所以
，
，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知直线
的斜率存在，设直线的方程为，
由
得：
，
设
，
，则
，
， ①
因为、两点关于轴对称，所以
，
直线的方程为
，令
得：
，
又由
，
，所以
由将①代入得
，所以直线与轴交于定点
．
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