Question

如图，A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），点C为α终边与单位圆交点，α∈[0，

2π

3

]，

OC

=λ

OA

+μ

OB

，λ，μ∈R．
（1）当α=

π

3

时，求λ+μ的值；
（2）用α表示2λ-μ，并求2λ-μ的取值范围；
（3）当α在区间[0，

2π

3

]变化时，μ²+m（2λ-μ）的最大值为1，求实数m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数最值的应用,平面向量的基本定理及其意义,平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（1）当α=

π

3

时，

OC

=（

1

2

，

3

2

）=λ

OA

+μ

OB

=（λ-

μ

2

，

3

2

μ），可得λ-

μ

2

=

1

2

，且μ=1，解得 λ 和μ 的值，可得 λ+μ 的值．
（2）由于

OC

=（cosα，sinα）=λ

OA

+μ

OB

，解得λ=cosα+

3

3

sinα，μ=

2 3

3

sinα，可得2λ-μ=2cosα，从而得到2λ-μ的范围．
（3）当α在区间[0，

2π

3

]变化时，由于 μ²+m（2λ-μ）=-

4

3

(cosα-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

 的最大值为1，-

1

2

≤cosα≤1，再分

3m

4

＜-

1

2

、

3m

4

∈[-

1

2

，1]、

3m

4

＞1三种情况，分别根据μ²+m（2λ-μ）的最大值为1，求得实数m的值．

解答： 解：（1）当α=

π

3

时，

OC

=（

1

2

，

3

2

）=λ

OA

+μ

OB

=λ（1，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（λ-

μ

2

，

3

2

μ），
∴λ-

μ

2

=

1

2

，且μ=1，解得 λ=μ=1，∴λ+μ=2．
（2）由于

OC

=（cosα，sinα）=λ

OA

+μ

OB

=λ（1，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（λ-

μ

2

，

3

2

μ），
∴cosα=λ-

μ

2

，sinα=

3

2

μ，解得λ=cosα+

3

3

sinα，μ=

2 3

3

sinα，
∴2λ-μ=2cosα，显然，2λ-μ∈[-2，2]．
（3）当α在区间[0，

2π

3

]变化时，由于 μ²+m（2λ-μ）=

4

3

sin²α+2mcosα=

4

3

-

4

3

cos²α+2mcosα=-

4

3

(cosα-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

 的最大值为1，-

1

2

≤cosα≤1，
当

3m

4

＜-

1

2

时，即m＜-

2

3

时，由-

4

3

(-

1

2

-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

=1，求得m=0（舍去）．
当

3m

4

∈[-

1

2

，1]时，即

4

3

≥m≥-

2

3

时，由

3

4

m²+

4

3

=1，求得m无解．
当

3m

4

＞1时，即m＞

4

3

时，由-

4

3

(1-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

=1，求得m=

1

2

（舍去）．
故实数m的值不存在．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．