Question

7．已知函数$f（x）=tan（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设β是锐角，且$f（β）=2sin（β+\frac{π}{4}）$，求β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正切函数的性质即可求f（x）的定义域；
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可得$\frac{{sin（β+\frac{π}{4}）}}{{cos（β+\frac{π}{4}）}}=2sin（β+\frac{π}{4}）$，利用$sin（β+\frac{π}{4}）＞0$，化简可得$cos（β+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，结合范围即可得解β的值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由$x+\frac{π}{4}≠kπ+\frac{π}{2}$，得$x≠kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z…（3分）
所以 函数f（x）的定义域是$\{x|x≠kπ+\frac{π}{4}，k∈{Z}\}$…（4分）
（Ⅱ）依题意，得$tan（β+\frac{π}{4}）=2sin（β+\frac{π}{4}）$…（5分）
所以$\frac{{sin（β+\frac{π}{4}）}}{{cos（β+\frac{π}{4}）}}=2sin（β+\frac{π}{4}）$．①…（7分）
因为β是锐角，所以 $\frac{π}{4}\;＜β+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，…（8分）
所以$sin（β+\frac{π}{4}）＞0$，…（9分）
①式化简为$cos（β+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$…（10分）
所以 $β+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$，…（12分）
所以$β=\frac{π}{12}$…（13分）

点评 本题主要考查了正切函数的性质，同角三角函数基本关系式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于基础题．