Question

已知函数,．
（1）若对任意的实数,函数与的图象在处的切线斜率总相等，求的值;
（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）求出的导数，由题设知，且，解得即可；（2）两种方法：法一，先利用在处不等式成立，得，即是不等式恒成立的必要条件，再说明是不等式恒成立的充分条件即可；法二，记则在上，，对求导，对讨论求出满足的的范围.
试题解析：（Ⅰ）     
由题设知，且，即， ……2分

因为上式对任意实数恒成立，        ……4分
故，所求    ……5分
（Ⅱ）即，
方法一：在时恒成立，则在处必成立，即，
故是不等式恒成立的必要条件.   ……7分
另一方面，当时，记则在上，
     ……9分

时，单调递减；时，单调递增

，，即恒成立
故是不等式恒成立的充分条件.  ……11分
综上，实数的取值范围是      ……12分
方法二：记则在上，
    ……7分
若，，时，，单调递增，，
这与上矛盾；      ……8分
若，，上递增，而，
这与上矛盾；……9分
③若，，时，单调递减；时，单调递增
，即恒成立     11分
综上，实数的取值范围是      12分