Question

已知函数（为自然对数的底）
(1)求的最小值;
(2)设不等式的解集为，且,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先求导函数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是其最小值；
（2）根据不等式的解集为，且，可转化成对任意的，不等式恒成立.即对任意的恒成立，分离参数得，令，利用导数研究的最小值，使即可．
试题解析：（1）令，解得；令，解得 .
从而在内单调递减，内单调递增.所以，.
（2）因为不等式的解集为，且，
所以，对任意的，不等式恒成立，
由得.当时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.
将变形得，令，.
令，解得；令，解得
从而在内单调递减，在内单调递增.所以，当时，取得最小值，从而所求实数的取值范围是.