Question

19．有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如表的列联表．

	优秀	非优秀	总计
甲班	10
乙班		30
合计			100

已知在全部100人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$
（1）请完成如表的列联表；
（2）根据列联表的数据，有多大的把握认为“成绩与班级有关系“？
（3）按分层抽样的方法，从优秀学生中抽出6名学生组成一个样本，再从样本中抽出2名学生，记甲班被抽到的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式和数据：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，其中n=a+b+c+d
下面的临界值表供参考：

p（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）数学考试优秀人数有100×$\frac{3}{10}$=30人，即可将2×2列联表补充完整；
（2）根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，由K²≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为“成绩与班级有关系”；
（3）根据分层抽样甲班2人，乙班4人，则甲班被抽到的人数为ξ的取值0，1，2，分别求得其概率及分布列，根据分布列求得其数学期望．

解答 解：（1）数学考试优秀人数有100×$\frac{3}{10}$=30人        …（1分）
补充完成2×2列联表如下：…（3分）

	优秀	非优秀	总计
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合计	30	70	100

（2）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{100×（10×30-40×20）^{2}}{50×50×30×70}$≈4.762＞3.841，…（5分）
∵P（K²＞3.841）=0.05，
∴1-0.05=95%，
∴有95%的把握认为“成绩与班级有关系”…（6分）
（3）按分层抽样，甲班抽取优秀学生人数为6×$\frac{10}{30}$=2人，
乙班抽取优秀学生人数为6-2=4人，则ξ=0，1，2，…（7分）
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，…（10分）
∴ξ的分布列为…（11分）

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴ξ的数学期望为E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$…（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查超几何分布的概率计算公式、分布列及数学期望，考查计算能力，属于中档题．