Question

8．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，数列{b_n}满足：b_n=${log_{（{a_{n+1}}）}}$a，其中a＞0且a≠1，n∈N^*
（1）求证：数列{a_n+1}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）试问数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；
（3）若a=2，记c_n=$\frac{1}{{（{a_n}+1）{b_n}}}$，数列{C_n}的前n项和为T_n，数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为R_n，若对任意n∈N^*，不等式λnT_n+$\frac{{2{R_n}}}{{{a_n}+1}}$＜2（λn+$\frac{3}{{{a_n}+1}}$）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n+1变形，进而可得到数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）通过（1）可知b_n=${log_{（{a_{n+1}}）}}$a，两边同时取倒数整理即得结论；
（3）通过（1）、（2）可知c_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算可知T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，结合R_n=$\frac{n（n+3）}{2}$代入整理，从而问题转化为求f（n）=$\frac{6-3n-{n}^{2}}{n（{2}^{n}-n+3）}$的最小值，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2，即a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ；
（2）结论：数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是公差为log_a2的等差数列．
理由如下：
∵b_n=${log_{（{a_{n+1}}）}}$a，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{n+1}}a}$=log_aa_n+1=（n+1）log_a2，
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是等差数列，公差为log_a2；
（3）解：由（1）、（2）可知c_n=$\frac{1}{{（{a_n}+1）{b_n}}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∵T_n=2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
2T_n=2•1+3•$\frac{1}{2}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=2+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
由（2）可知R_n=$\frac{n（n+3）}{2}$，
又∵对任意n∈N^*，不等式λnT_n+$\frac{{2{R_n}}}{{{a_n}+1}}$＜2（λn+$\frac{3}{{{a_n}+1}}$）恒成立，
∴对任意n∈N^*，不等式λn（3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$）+$\frac{n（n+3）}{{2}^{n}}$＜2（λn+$\frac{3}{{2}^{n}}$）恒成立，
∴对任意n∈N^*，不等式λ＜$\frac{6-3n-{n}^{2}}{n（{2}^{n}-n+3）}$恒成立，
从而问题转化为求f（n）=$\frac{6-3n-{n}^{2}}{n（{2}^{n}-n+3）}$的最小值，
∵f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=-$\frac{2}{5}$，f（3）=-$\frac{1}{2}$，f（4）=-$\frac{11}{26}$，
且当n≥4时f（n）=$\frac{\frac{6}{n}-n-3}{{2}^{n}-n+3}$随着n的增大而增大，
∴λ＜f（3）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及错位相减法等基础知识，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．