Question

20．下列命题中正确的是（　　）

• A． 当x＞0且x≠1时，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2
• B． 当x＞0时，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2
• C． 当0＜θ≤$\frac{π}{2}$时，sinθ+$\frac{2}{sinθ}$的最小值为2$\sqrt{2}$
• D． 当-$\frac{1}{2}$≤x＜0时，x+$\frac{1}{x}$有最大值-2

Answer 1

分析 由0＜x＜1，运用对数函数的性质，判断A错；
运用基本不等式可得B正确；
当0＜θ≤$\frac{π}{2}$时，令t=sinθ（0＜t≤1），求t+$\frac{2}{t}$的导数，判断单调性即可判断C；
当-$\frac{1}{2}$≤x＜0时，求出x+$\frac{1}{x}$的导数，判断单调性，即可判断D．

解答 解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，可得lgx+$\frac{1}{lgx}$＜0，故A不对；
对于B，当x＞0时，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$=2，当x=1时取得等号，故B对；
对于C，当0＜θ≤$\frac{π}{2}$时，令t=sinθ（0＜t≤1），即有t+$\frac{2}{t}$的导数为1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
t+$\frac{2}{t}$在（0，1]递减，可得最小值为3，故C不对；
对于D，当-$\frac{1}{2}$≤x＜0时，x+$\frac{1}{x}$的导数为1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，即x+$\frac{1}{x}$在[-$\frac{1}{2}$，0）递减，
可得最大值为-$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{5}{2}$，故D不对．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的运用，同时考查单调性的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．