Question

15．下列函数中，①y=|x+$\frac{1}{x}$|；②y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$；③y=log₂x+log_x2（x＞0且≠1）；④y=3^x+3^-x；最小值为2的函数是①②④（只填序号）

Answer 1

分析 利用基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”即可判断出结论．

解答 解：①y=|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，当且仅当x=±1时取等号，因此y的最小值为2；
②y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+1}•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}$=2，当且仅当x=0时取等号，最小值为2；
③y=log₂x+log_x2（x＞0且≠1），当0＜x＜1时，log₂x＜0，因此没有最小值；
④y=3^x+3^-x≥$2\sqrt{{3}^{x}•{3}^{-x}}$=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2．
综上可得：最小值为2的函数是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．